Zadanie nr 12.1 z Matury rozszerzonej z matematyki 2026

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16}.$