Rozwiązanie tej nierówności wymaga rozważenia trzech przypadków, ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniami zawierającymi wartości bezwzględne. Oto jak to zrobimy krok po kroku. 1. **Zapisujemy nierówność** Rozpoczynamy od zapisania naszej nierówności: $$|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| < -2$$ 2. **Przekształcamy nierówność** Przemieszczamy -2 na prawą stronę nierówności: $$|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| + 2 < 0$$ 3. **Analizujemy miejsca zerowe** Musimy znaleźć miejsca, w których wyrażenia $|x - 2|$ i $|x + 3|$ zmieniają swoje wartości. Stąd wyznaczamy punkty, w których argumenty wartości bezwzględnych są równe zero: - $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ - $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ Te punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały: - $(-\infty, -3)$ - $[-3, 2)$ - $[2, +\infty)$ 4. **Rozpatrujemy przypadek 1: $(-\infty, -3)$** W tym przedziale $x < -3$, więc: $$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$$ $$|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$$ Podstawiamy do nierówności: $$-x + 2 - 2(-x - 3) < -2$$ o5. **Upraszczamy nierówność** $$-x + 2 + 2x + 6 < -2$$ $$x + 8 < -2$$ $$x < -10$$ Wynik z tej części to $x < -10$, co jest zgodne z przedziałem $(-\infty, -3)$. 6. **Rozpatrujemy przypadek 2: $[-3, 2)$** W tym przedziale $-3 \leq x < 2$, więc: $$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$$ $$|x + 3| = x + 3$$ Podstawiamy do nierówności: $$-x + 2 - 2(x + 3) < -2$$ 7. **Upraszczamy nierówność** $$-x + 2 - 2x - 6 < -2$$ $$-3x - 4 < -2$$ $$-3x < 2$$ $$x > -\frac{2}{3}$$ Ponieważ $-\frac{2}{3}$ nie leży w przedziale $[-3, 2)$, to nie wprowadzamy nowego rozwiązania. 8. **Rozpatrujemy przypadek 3: $[2, +\infty)$** W tym przedziale $x \geq 2$, więc: $$|x - 2| = x - 2$$ $$|x + 3| = x + 3$$ Podstawiamy do nierówności: $$x - 2 - 2(x + 3) < -2$$ 9. **Upraszczamy nierówność** $$x - 2 - 2x - 6 < -2$$ $$-x - 8 < -2$$ $$-x < 6$$ $$x > -6$$ Jednak dla tego przypadku warunek $x \geq 2$ już ogranicza nas do $x > -6$, dlatego wynik to $x \geq 2$. 10. **Podsumowanie wyników** Podsumowując, mamy dwa wyniki z przypadków: - Z przedziału $(-\infty, -3)$: $x < -10$ - Z przedziału $[2, +\infty)$: $x \geq 2$ Największy wspólny zbiór rozwiązań w tej nierówności to: $$(-\infty, -10) \cup [2, +\infty)$$ **Odpowiedź:** Rozwiązaniem nierówności jest zbiór: $$(-\infty, -10) \cup [2, +\infty)$$.

Zadanie nr 5 z Matury rozszerzonej z matematyki 2025