1. Zaczynamy od zapisania nierówności:\n$$\sqrt{x^2 + 4x + 4} < \frac{25}{3} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}$$\n\n2. Przekształcamy obie strony równania. Mamy wyrażenia pod pierwiastkami, więc zauważ, że:\n$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$\n$$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$\n\n3. Zapisujemy zatem:\n$$\sqrt{(x + 2)^2} < \frac{25}{3} - \sqrt{(x - 3)^2}$$\n\n4. Możemy zredukować pierwiastki, co daje nam:\n$$|x + 2| < \frac{25}{3} - |x - 3|$$\n\n5. Teraz musimy rozważyć trzy przypadki w oparciu o wartości bezwzględne.\n\n**Przypadek 1:** Kiedy $x + 2 \geq 0$ oraz $x - 3 \geq 0$.\n\n6. To oznacza, że $x \geq -2$ oraz $x \geq 3$.\n\n7. Zapisujemy nierówność:\n$$x + 2 < \frac{25}{3} - (x - 3)$$\n\n8. Dodajemy $(x - 3)$ do obu stron:\n$$x + 2 + (x - 3) < \frac{25}{3}$$\n\n9. Upraszczamy lewą stronę:\n$$2x - 1 < \frac{25}{3}$$\n\n10. Dodajemy 1 do obu stron:\n$$2x < \frac{25}{3} + 1$$\n\n11. Upraszczamy 1 do wspólnego mianownika:\n$$2x < \frac{25}{3} + \frac{3}{3} = \frac{28}{3}$$\n\n12. Dzielimy obie strony przez 2:\n$$x < \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$$\n\n**Przypadek 2:** Kiedy $x + 2 \geq 0$ oraz $x - 3 < 0$.\n\n13. To oznacza, że $x \geq -2$ oraz $x < 3$.\n\n14. Zapisujemy nierówność:\n$$x + 2 < \frac{25}{3} - (3 - x)$$\n\n15. Rozwiązujemy ją analogicznie: dodajemy $(3 - x)$ do obu stron:\n$$x + 2 + (3 - x) < \frac{25}{3}$$\n\n16. Upraszczamy lewą stronę:\n$$5 < \frac{25}{3}$$\n\n17. Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, więc w tym przypadku mamy:\n$$-2 \leq x < 3$$\n\n**Przypadek 3:** Kiedy $x + 2 < 0$ oraz $x - 3 < 0$.\n\n18. Oznacza to, że $x < -2$.\n\n19. Zapisujemy nierówność:\n$$-(x + 2) < \frac{25}{3} - (3 - x)$$\n\n20. Dodajemy $(3 - x)$ do obu stron:\n$$-(x + 2) + (3 - x) < \frac{25}{3}$$\n\n21. Upraszczamy lewą stronę:\n$$-2x + 1 < \frac{25}{3}$$\n\n22. Przenosimy 1 do drugiej strony:\n$$-2x < \frac{25}{3} - 1$$\n\n23. 1 zamieniamy na $\frac{3}{3}$ i upraszczamy:\n$$-2x < \frac{25 - 3}{3} = \frac{22}{3}$$\n\n24. Dzielimy przez -2 (zmiana znaku nierówności):\n$$x > -\frac{11}{3}$$\n\n25. Na końcu łączymy wyniki z różnych przypadków. Mamy rozwiązanie z Przypadku 1 i 3, których kryteria muszą być spełnione jednocześnie.\n\n26. Z Przypadku 1 mamy $x < \frac{14}{3}$ oraz z Przypadku 3 mamy $x > -\frac{11}{3}$.\n\n27. Końcowy zbiór rozwiązań: $$x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)$$\n\n**Odpowiedź:** $x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)$

Zadanie nr 9 z Matury rozszerzonej 2023