Zadanie nr 13.2 z Matury rozszerzonej 2024

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których
krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt3$.

Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
$\displaystyle \small P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}$
dla $a \in \left(0, 8\sqrt{3}\right]$.
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.